Lors du dernier raout des députés UMP, lequel, pour une raison que nous ne nous expliquons guère, a eu lieu aux frais directs et sous les ors de la République, M. Sarkozy s'en est pris à la presse, coupable de n'avoir pas assez selon lui relayé la récente condamnation en appel de Mme Royal. De deux choses l'une, ça a marché d'enfer, ladite presse s'indignant de concert de cette tentative de mainmise et relatant au passage le susdit événement, la deuxième : mais pourquoi est-il si méchant avec la pauvre Ségolène ?⁽¹⁾

A cela deux explications : soit il a d'elle la plus pauvre opinion, souhaite l'affronter de nouveau en 2012 et voulait ainsi la désigner comme principale personnalité d'opposition⁽²⁾, comptant sur les crédules militants socialistes pour la désigner derechef ; soit, mine de rien, il la respecte et la craint, et dans la perspective d'un second affrontement en 2012 et suivant la tactique qui lui a jusque-là si bien réussi de se mettre en campagne 4 ans avant, commence dès à présent à bâtir un dossier à charge.

N'ayant pas l'heur d'être dans ses confidences, mais cependant friands d'apprendre ce qui peut bien passer dans cette tête qui est aussi celle de l'Etat, il ne reste aux pauvres citoyens que nous sommes que le seul recours de notre mère à tous - j'ai nommé la théorie des jeux. Avec incertitude.

Deux joueurs interviennent dans notre modèle, Nicolas⁽³⁾ tout d'abord, les militants socialistes ensuite. Nicolas reçoit un signal de la nature (comprendre "Nicolas apprend que"), qui l'informe que Royal est une "bonne" candidate (meilleure que ses concurrents socialistes tout du moins) ou une "mauvaise". Il décide alors de taper sur Royal, ou de se comporter en Président ne pas lui taper dessus. Les militants socialistes décident alors (mais sans savoir, eux, la qualité de Royal ; ils savent simplement qu'elle est bonne avec une probabilité α, et qu'elle est mauvaise avec une probabilité 1 - α) de la désigner comme candidate ou d'envoyer un concurrent C. Les paiements (d'abord celui de Sarkozy, puis celui des militants) se présentent ainsi :

- si Sarkozy affronte Royal, qu'elle est bonne (bon je ne vais pas réécrire "une bonne candidate" à chaque fois, mais je rappelle à ces messieurs qu'ils sont dans un espace pudique et décent) et qu'il lui a tapé dessus, ils ont une chance équivalente de l'emporter ; les paiements sont (1/2,1/2) ;

- s'il affronte C, les paiements sont dans tous les cas (x,1-x) où x est un paramètre entre 0 et 1 que nous laissons libre ;

- s'il affronte Royal, qu'elle est bonne et qu'il n'a pas tapé, il perd à tous les coups ;

- s'il affronte Royal et qu'elle est mauvaise, il gagne à tous les coups.

Nous laissons à l'aimable lecteur le soin de dessiner l'arbre adéquat - il peut toujours se référer à ce sublime exemple si nécessaire.

Dans la plus pure tradition harsanyite, nous remarquons que deux types d'équilibre sont possibles, appelés "séparateurs" (separating) et "mélangeants" (pooling). Les premiers sont ainsi nommés car il est possible, au vu des actions d'un joueur, de deviner son type (en l'occurrence, l'information qu'il a reçue) ; les seconds, car cela est impossible.

A quelles conditions y a-t-il dans ce jeu des équilibres séparateurs ?
Le premier équilibre possible est que Sarkozy ne tape sur Royal que s'il pense qu'elle est forte ; dans ce cas, il sait que les militants socialistes interpréteront le fait qu'il lui tape dessus comme un signe de sa (à Royal) qualité. Dès lors, a-t-il intérêt à le faire ? s'il tape sur Royal, les militants socialistes la désignent seulement si 1/2 (leur probabilité de gagner si elle est candidate, forte, et dessustapée) > 1-x (leur probabilité de gagner avec C). Mais si c'est le cas, Sarkozy a intérêt à "dévier" (ne pas jouer la stratégie que ledit équilibre suppose qu'il joue) et à ne pas taper, ce que les militants interprètent comme étant signe que Royal est mauvaise et qui aboutit à faire désigner C, ce qui rapporte à Sarkozy plus que 1/2. Il n'y a donc pas de tel équilibre quand x>1/2.
Quand x<1/2, les militants choisissent de toute façon C, une déviation a le même résultat, il y a donc équilibre.

Un second équilibre séparateur consisterait pour Sarkozy à ne taper sur Royal que si elle est faible ; dans ce cas-là, quand elle est forte, il révèle qu'elle est forte sans même lui taper dessus et a 0, il a donc intérêt à dévier. Pas d'équilibre.

Dans un équilibre mélangeant, Sarkozy se conduit de la même façon quel que soit le type de Royal, ne révélant ainsi aucune information ; les militants n'ont donc aucun moyen de savoir si Royal est forte ou non en dehors de leur croyance initiale.

Premier équilibre mélangeant : il tape dans les deux cas. Désigner Royal apporte donc aux militants une espérance de gain de α/2 (+(1-α)*0), tandis que désigner C leur rapporte 1-x. Royal ne sera donc candidate que si α/2>1-x. Pour que ce soit un équilibre, il faut que si Sarkozy dévie (ne tape pas), les militants l'interprètent comme un signe que Royal est forte [et la désignent d'autant plus].
Si α/2<1-x, les militants choisissent toujours C ; pour que ce soit un équilibre, il faut que si Sarkozy dévie, ils l'interprètent comme un signe de la faiblesse de Royal.
Où l'on voit que les croyances exogènes de Sarkozy sur les croyances exogènes des militants jouent un rôle passablement important...

Un dernier équilibre est envisageable où Sarkozy ne tape jamais, mais ça lui ressemble tellement peu et le billet est déjà tellement long que nous préférons ne pas nous appesantir sur la question.

Qu'en conclure (i) sur ce que Sarkozy pense de Royal, (ii) sur qui sera désigné et (iii) sur la stratégie à suivre pour les présidentiables rivaux ?

(i) Sarkozy a tapé sur Royal, de deux choses l'une : c'est un équilibre séparateur et il la redoute, l'autre : c'est un équilibre mélangeant et on ne peut rien déduire du tout...

(ii) Royal ne peut être désignée que si nous sommes en présence d'un équilibre mélangeant, que α/2>1-x (autrement dit que les militants ont une bonne opinion d'elle a priori et une mauvaise de ses rivaux, ce qui certes n'est pas un résultat outrageusement surprenant) et que Sarkozy croit que les militants interprèteront le fait qu'il ne lui tape pas dessus comme le signe de sa qualité (par exemple parce qu'il a peur des représailles).

(iii) quelle doit être la stratégie des rivaux de Ségolène Royal ? tout dépend de s'ils pensent être dans un équilibre séparateur ou mélangeant. Ils ont de toute façon intérêt à sembler le meilleur possible face à Sarkozy, mais il leur suffit d'être meilleur que Royal dessustapée, même s'ils sont moins forts que ladite Royal non entachée d'infâmes médisances calomnies.

Evidemment, tout cela suppose que Sarkozy et les militants socialistes soient rationnels, et pire encore se croient réciproquement rationnels, ce qui est loin d'être gagné...

(1) Parce que ! et parce queeeeeeeuh !
(2) en même temps, il brouille les pistes car l'attaque contre Chirac commence à faire sortir les villepinistes du bois...
(3) les hommes aussi ont le droit d'être appelés par leur "petit nom"